Beispielaufgabe „Jeden Tag ein neues Outfit“ (Kalender 7-9, 2017)

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Geschenkewichtel Oswald ist von der eintönigen Mode der Wichtel gelangweilt. Am liebsten würde er jeden Tag ein anderes Outfit zur Arbeit anziehen.

Er klagt Hubertine sein Leid: „Hier im Weihnachtsdorf gibt es einfach keine Läden mit einer ordentlichen Auswahl!“ Hubertine fragt: „Was hast du denn zur Zeit im Kleiderschrank?“ „Ich habe 2 Hosen, 3 Hemden, 2 Westen – die sehen natürlich alle verschieden aus – und eine Mütze.“ antwortet Oswald.

„Hmm...“ überlegt Hubertine „Wenn du die Mütze immer trägst und alles andere untereinander kombinierst, kannst du dir damit ja immerhin 12 verschiedene Outfits zusammenstellen...“

Nach kurzem Nachdenken stimmt Oswald zu: „Du hast recht! Aber es gibt bei uns jährlich 250 Arbeitstage. Wenn ich bei der Arbeit jeden Tag ein anderes Outfit tragen möchte, fehlen also noch ziemlich viele...“

„Ok! Dann überlegen wir mal, wie viele verschiedene Hosen, Hemden, Westen und Mützen du dafür jeweils bräuchtest. Lass uns erstmal abschätzen, wie viele Outfits das wären, wenn du von diesen 4 Arten von Kleidungsstücken jeweils gleich viele hättest. Dann könntest du auch mal deine Mütze wechseln.“ schlägt Hubertine vor.

„Na gut!“ meint Oswald und betont: „Überlegen können wir ja mal. Ich möchte aber auch wirklich jeden Tag eine Weste und eine Mütze tragen – Hose und Hemd natürlich auch!“

Wenn sie davon ausgehen, dass Oswald von seinen Hosen, Hemden Westen und Mützen jeweils gleich viele hätte: Wie viele verschiedene Kleidungsstücke einer Art bräuchte Oswald mindestens, um an jedem Arbeitstag eines Jahres ein anderes Outfit anziehen zu können?

a)
2
b)
4
c)
10
d)
50

Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von:

Das "Mathe im Advent"–Team
Mathe im Leben gemeinnützige GmbH
www.facebook.com/matheimadvent


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Lösung:

Antwortmöglichkeit b) ist richtig. Oswald bräuchte mindestens 4 verschiedene Kleidungsstücke einer Art.

Oswald will an jedem Arbeitstag ein anderes Outfit tragen. Die einzelnen Teile des Outfits dürfen sich wiederholen, aber er will jede Kombination von Kleidungsstücken nur höchstens einmal an einem der 250 Arbeitstage tragen. Zur Zeit hat Oswald 2 Hosen, 3 Hemden, 2 Westen und eine Mütze und kann damit 12 Outfits bilden. Wenn du verstanden hast, wie er aus seiner jetzigen Kleidung 12 Oufits bilden kann, kannst du die Aufgabe sehr leicht lösen.

Zu jeder der 2 Hosen kann er 3 Hemden tragen. Damit hat er schon mal 2 ⋅ 3 = 6 Outfits ohne Weste und Mütze. Jedes dieser 6 Outfits kann er nun mit einer der beiden Westen kombinieren. Das ergibt dann 6 ⋅ 2 = 12 Outfits. Da er nur eine Mütze hat, muss er diese Mütze zu allen Outfits tragen. Also kann Oswald zur Zeit insgesamt 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 12 verschiedene Outfits tragen.

Die gleiche Rechnungen kannst du jetzt mit den vier vorgegeben Antwortmöglichkeiten aufstellen. Da gefragt wurde, wie viele Kleidungsstücke er von jeder Art mindestens braucht, um 250 verschiedene Outfits zusammenstellen zu können, ist die kleinste Antwort, die über 250 liegt, die Richtige.

Prüfen von Antwortmöglichkeit a):

Hätte er 2 Kleidungsstücke von jeder Art, würde es insgesamt

2⋅2⋅2⋅2=16

Outfits ergeben. Das sind wesentlich weniger als 250 Outfits, Antwort a) ist falsch.

Prüfen von Antwortmöglichkeit b):

Hätte er 4 Kleidungsstücke von jeder Art, wären es insgesamt

4⋅4⋅4⋅4=256

Outfits. Bei 4 Kleidungsstücken von jeder Art hat Oswald also genügend Outfits, um an jedem Arbeitstag ein anderes anziehen zu können. Damit ist Antwort b) richtig.

Blick über den Tellerrand: Hunderttausend Milliarden Gedichte

Der Franzose Raymond Queneau hat ein Buch mit 100 Billionen Gedichte geschrieben. Wenn du alle seine Gedichte lesen willst, würdest du damit 95 Millionen Jahre verbringen - ohne Pause! Wie passen so viele Gedichte überhaupt in ein Buch? Er hat es genau so gemacht wie Oswald, der mit nur 16 Kleidungsstücken 256 Outfits kombinieren kann.

Raymond Queneau hat nämlich eigentlich nur 10 Gedichte mit je 14 Zeilen geschrieben. Die Gedichte sind alle nach dem gleichen Reimschema aufgebaut. Und sogar so, dass jeweils die 1. Zeilen der 10 Gedichte die gleiche Endung haben, ebenso die 2. Zeilen usw. Dadurch lassen sich die Zeilen beliebig kombinieren: Jede der zehn 1. Zeilen lässt sich mit jeder der zehn 2. Zeilen kombinieren, diese wiederum mit jeder der zehn 3. Zeilen, usw.

Genauso wie in der Lösung zur Aufgabe 3, kannst du nun ausrechnen, wie viele verschiedene Gedichte sich daraus ergeben. Jedes Gedicht hat 14 Zeilen und für jede Zeile des Gedichtes gibt es 10 Möglichkeiten. Es entstehen also insgesamt

10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10

= 1014 = 100 000 000 000 000

verschiedene Gedichte.

Im Buch sind die 10 Gedichte abgedruckt und die 14 Zeilen jeweils in Streifen geschnitten. Du kannst nun munter selbst Gedichte aus diesen 14 Zeilen bilden, wirst es aber wohl nicht schaffen, alle Kombinationen zu lesen. Das Buch trägt im Französischen den Titel „Cent Mille Milliards de Poèmes", was auf Deutsch mit „Hunderttausend Milliarden Gedichte" übersetzt wurde.

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