Beispielaufgabe "Die rätselhafte Uhr" (Kalender 4-6, 2022)

Lösung:

Antwortmöglichkeit c) ist richtig. Es ist 1:17 Uhr.

Lösungsweg 1: Erkenne das Muster

Bei dieser Aufgabe sind keine Zahlen vorgegeben. Betrachtest du dir jedoch die leuchtenden Kästchen der Uhr genau, kannst du ein Muster finden. Die Uhr besteht aus einer Stundenanzeige mit fünf Kästchen und einer Minutenanzeige mit sechs Kästchen. Du siehst im Bild, welche Lämpchen in der Minutenanzeige für die Zahlen 0 bis 8 leuchten.

Hierbei kannst du bereits ein Muster erkennen. Bei Minute 1, 2, 4 und 8 leuchtet jeweils nur ein Lämpchen. Und dieses befindet sich immer ein Kästchen weiter links. Von rechts gelesen, steht also das erste Kästchen für eine 1, das zweite Kästchen für eine 2, das dritte Kästchen für eine 4 und das vierte Kästchen für eine 8.

Als Albert auf seine Uhr schaut, leuchtet auf der Stundenanzeige das letzte Kästchen (bzw. das erste Kästchen von rechts). Es ist also schon später als 1:00 Uhr. Damit ist die Antwortmöglichkeit a) falsch.

Auf der Minutenanzeige leuchtet das erste und das fünfte Kästchen (von rechts). Du kannst nun überlegen, wie sich die Reihe fortsetzen wird, wenn das Lämpchen im fünften Kästchen leuchtet. Du kannst oben erkennen: Von einem Kästchen zum nächsten verdoppelt sich die Zahl: 1 · 2 = 2, 2  · 2 = 4, 4 · 2 = 8. Das fünfte Kästchen steht demnach für 8 · 2 = 16.

Zu dem fünften Kästchen (16 Minuten) kommt noch das erste Kästchen (1 Minute) dazu. Die kannst du addieren und kommst auf 16 + 1 = 17 Minuten. Es ist also 1:17 Uhr, als Albert nach dem Schreiben des Dankesbriefs wieder auf die Uhr guckt. Antwortmöglichkeit c) ist richtig.

Lösungsweg 2: Rechne im Zweiersystem (Dualsystem oder Binärsystem).

Wenn du erkannt hast, dass die Uhrzeiten im Zweiersystem (oder Dualsystem) angegeben sind, kannst du auch damit rechnen. Im Dezimalsystem verwendest du die Ziffern von 0 bis 9. Im Dualsystem hast du nur zwei Ziffern 0 und 1 zur Verfügung. Die Zahl 2 schreibst du im Dualsystem als „10”, die Zahl 3 als „11””. Die Rätseluhr zeigt alle Uhrzeiten im Dualsystem an: ein leuchtendes Lämpchen steht für eine 1, ein nicht leuchtendes für eine 0.

Die Position der Lämpchen zeigt die Stelle der Ziffer in der Dualzahl an. Im Dualsystem steht jede Stelle der Zahl für eine Potenz von 2 (Zweierpotenz). Das heißt: Von rechts fängst du mit der 1 an und verdoppelst so oft, wie die Stellenzahl angibt. Das hast du bereits oben im 1. Lösungsweg entdeckt. Hier haben wir es in einer Tabelle aufgeschrieben:

Wie du auch die Zahlen mit mehr als einer 1 vom Dualsystem ins Dezimalsystem übersetzen kannst, kannst du dir auch herleiten, wenn du dir im ersten Aufgabenbild alle Zahlen mit mehreren Lampen anschaust. Dafür eignet sich eine Tabelle. Die Position der Lämpchen wird dabei wieder von rechts angegeben.

Du addierst einfach alle Zweierpotenzen, an deren Stelle eine 1 steht und ignorierst die Stellen, an denen eine 0 steht. Als Albert nach dem Schreiben seines Briefes wieder auf die Uhr guckt, leuchten das erste und fünfte Kästchen. Das ist gleichbedeutend mit der Dualzahl „10001” und der Dezimalzahl 16 + 1 = 17. Die Stundenzahl kannst du direkt ablesen, da die Dualzahl 1 auch im Dezimalsystem die 1 ist.

Es ist demnach 01:17 Uhr, wenn Albert nach dem Schreiben des Dankesbriefs wieder auf die Uhr guckt. Antwortmöglichkeit c) ist richtig.

Mathematische Exkursion: Zweiersystem / Dualsystem

Die Uhrzeiten auf Alberts Uhr werden mithilfe der Lämpchen in zwei Zuständen „Lampe an” oder „Lampe aus” als Dualzahlen dargestellt. Die beiden Zustände „Lampe an” und „Lampe aus” kannst du auch mit den beiden Ziffern „1“ und „0“ schreiben. Man spricht dann vom Zweiersystem oder Dualsystem (oder auch Binärsystem). Im Lateinischen wird dualis mit „zwei enthaltend“ übersetzt. Die Zahlen im Zweiersystem heißen deshalb auch Dualzahlen. Man schreibt Dualzahlen häufig in runden Klammern und mit einer kleinen 2 unten rechts, um sie von den normalen Zahlen im Zehnersystem zu unterscheiden, also zum Beispiel so: (101) ₂.

Bei der Rückübersetzung vom Dualsystem in das Dezimalsystem (mit den zehn Ziffern 0 bis 9) der natürlichen Zahlen, kannst du auf Potenzen der Zahl 2 zurückgreifen. Potenzen sind Produkte einer Zahl mit sich selbst. Sie entstehen aus einer Basis (Grundzahl) und einem Exponenten (Hochzahl). Ein Beispiel für eine solche Potenz ist: 2³.

Die „2“ ist in diesem Fall die Basis. Die „3“ ist der Exponent und wird immer oben an die Basis geschrieben. Diese Potenz bedeutet: „Multipliziere die 2 dreimal mit sich selbst!“ Das heißt: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8

Im Dualsystem ist die Basis aller Potenzen die „2“, wegen der zwei Ziffern 1 und 0. Jede Position steht für eine Potenz von „2“. Von rechts nach links steigt dabei der Wert des Exponenten. Die Position ganz rechts steht also für 2⁰ = 1. Mit ihr kannst du die (natürlichen) Zahlen 0 und 1 darstellen. Die Position links daneben steht für 2¹= 2, die nächste für 2² = 2 · 2 = 4, dann 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 usw. Die Einsen und Nullen zeigen an, ob an den jeweiligen Positionen die Potenzen der „2“ mitgezählt werden soll („1“) oder nicht („0“). Alle Potenzen, an deren Positionen sich eine „1“ befindet, werden addiert. Daraus erhältst du die natürliche Zahl. Hier einige Beispiele:

Am Beispiel der Zahl „27” kannst du noch einmal nachvollziehen, wie die Dualzahl gebildet wird: 27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 2³ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 1 · 2³ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 20 = (11011)₂

Unser Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Es funktioniert eigentlich genauso wie das Binärsystem, nurndass die Basis 10 ist und die Potenzen von 0- bis 9-mal mitgezählt werden können. So ist die natürliche Zahl 123 eben genau: 1 · 10² + 2 · 10¹ + 3 · 10⁰ = 1 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 = 123

Es wird vermutet, dass sich bei den Menschen das Dezimalsystem auch deswegen durchgesetzt hat, weil der Mensch 10 Finger hat. Hätte der Mensch nur 8 Finger, wie es zum Beispiel die Figuren der Ferhsehserie Die Simpsons haben, hätte sich in der Geschichte vielleicht das Zahlensystem zur Basis 8 durchgesetzt. Da es sich aber sehr gut mit Zahlen im Dezimalsystem rechnen lässt, hat es in Europa gegen Ende des Mittelalters das System der römischen Zahlen abgelöst.

Die „2“ ist in diesem Fall die Basis. Die „3“ ist der Exponent und wird immer oben an die Basis geschrieben. Diese Potenz bedeutet: „Multipliziere die 2 dreimal mit sich selbst!“ Das heißt: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Dualzahlen spielen eine große Rolle in der heutigen Technik. So kennen Computer auf Maschinenebene nur Binärzahlen. Diese werden erzeugt, indem Strom fließt (entspricht einer 1) oder kein Strom fließt (entspricht einer 0). Eine solche Stelle nennt man auch ein Bit. Eine Binärzahl mit 8 Stellen, also 8 Bits, nennt man ein Byte. Häufig hört man den Begriff auch als Teil des Wortes Gigabyte – zum Beispiel als Speicherplatz auf der Festplatte. Ein Gigabyte sind eine Milliarde Bytes (1 GB = 1 000 000 000 B). Eine Milliarde Bytes entspricht 8 Milliarden Bits, also 8 Milliarden Einsen oder Nullen. Ein Speicherplatz von 500 GB auf der Festplatte entspricht also 4000 Milliarden Einsen und Nullen, die gespeichert werden können – eine unvorstellbar große Anzahl. Jeder Text, jedes Bild und jedes Video wird auf dem Computer in Nullen und Einsen codiert und gespeichert.