Beispielaufgabe „Griesgrämige Bergtrolle“ (Kalender 4-6, 2018)

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Bürgermeisterin Elsbeth und Bäckerwichtel Hugo sind seit 85 Jahren verheiratet! Anlässlich ihrer „Engelshochzeit” veranstalten sie am 4. Advent eine große Feier. Orlandie und Balduin haben sich bereit erklärt, die Planung der Feier zu übernehmen. Heute möchten die vier die Gästeliste fertig stellen. Natürlich sind alle 9 Kinder und 34 Enkelkinder von Elsbeth und Hugo eingeladen. Auch zahlreiche Freunde und Bekannte des Ehepaares stehen auf der Liste.

Dann schlägt Elsbeth vor: „Wie wäre es, wenn wir noch die norwegischen Bergtrolle einladen?” Hugo schaut Elsbeth verdutzt an: „Meinst du, das ist so eine gute Idee? Ich habe gehört, dass alle Trolle immer sehr griesgrämig sind. Die verderben uns sicher die Stimmung auf der Feier.” Elsbeth schüttelt energisch den Kopf: „Weißt du noch vor 6 Jahren? Wir hatten die Schneepocken im Dorf! Yorick, der Bergtroll, hat uns geholfen und die ganze Geschenke-Produktion gerettet! Der war überhaupt nicht griesgrämig, sondern sehr witzig und nett zu uns.”

Wichtel unterhalten sich über Bergtrolle.

Da schaltet sich Orlandie ein: „Ich muss Hugo Recht geben. Ich habe mal einen Bergtroll kennengelernt. Der war sehr unfreundlich.” Hugo nickt: „Siehst du Elsbeth, da haben wir den Beweis!”

Da meldet sich Balduin zu Wort: „Also, ich habe bisher ganz gute Erfahrungen mit den Trollen gemacht. Ich glaube auch nicht, dass man alle von ihnen über einen Kamm scheren kann.”

Welche Aussage ist mit Sicherheit richtig?

a)
Es steht fest, dass alle Bergtrolle immer griesgrämig sind, weil Hugo das gehört hat.
b)
Orlandie kennt einen griesgrämigen Bergtroll. Das reicht aus, um sagen zu können: „Alle Bergtrolle sind immer griesgrämig.”
c)
Elsbeth hat einen Bergtroll getroffen, der witzig und nicht griesgrämig war. Deshalb ist sicher: „Nicht alle Bergtrolle sind immer griesgrämig.”
d)
Die wenigen positiven Erfahrungen von Elsbeth und Balduin reichen nicht aus: „Es ist trotzdem sicher, dass alle Bergtrolle immer griesgrämig sind.”

Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von:

Das "Mathe im Advent"–Team
Mathe im Leben gemeinnützige GmbH
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Lösung:

Antwortmöglichkeit c) ist richtig. Weil Elsbeth einen Bergtroll getroffen hat, der nicht griesgrämig war, sind nicht alle Bergtrolle immer griesgrämig.

  • Hugo hat gehört, dass alle Bergtrolle immer griesgrämig sind.
  • Elsbeth kennt einen Bergtroll, der witzig, nett und nicht griesgrämig war.
  • Orlandie kennt einen sehr unfreundlichen Bergtroll.
  • Balduin hat bisher ganz gute Erfahrungen mit den Bergtrollen gemacht.

Jeder Wichtel hat eine Aussage über die Bergtrolle getroffen. Balduin und Elsbeth haben nur über die Bergtrolle gesprochen, die sie kennen. Hugo und Orlandie haben Aussagen über alle Bergtrolle getroffen und sogar behauptet, dass sie immer griesgrämig seien.

Wenn eine Aussage über alle Bergtrolle gemacht wird, so muss sie auch auf jeden einzelnen Bergtroll zutreffen. Elsbeth kennt aber einen netten Bergtroll, der nicht griesgrämig war. Es gibt deshalb einen Bergtroll, der nicht immer griesgrämig ist. Es können also gar nicht alle Bergtrolle immer griesgrämig sein. Antwortmöglichkeit c) ist damit die richtige.

Blick über den Tellerrand: „Alles über einen Kamm scheren.”

Balduin hat behauptet, dass man nicht alle Bergtrolle über einen Kamm scheren kann. Dabei handelt es sich um eine Redewendung. Wenn du alles über einen Kamm scherst, kümmerst du dich nicht um die Unterschiede zwischen mehreren Dingen, du behandelst sie alle als gleich. Balduin meint damit: nur weil du einen griesgrämigen Bergtroll oder sogar ein paar davon kennst, kannst du nicht darauf schließen, dass alle Bergtrolle griesgrämig sind.

Diese Redewendung hat seinen Ursprung im altdeutschen Strafrecht. Früher war es üblich, dass zur Bestrafung den Verbrechern alle Haare abrasiert wurden. Das galt als eine schlimme Strafe und jeder andere Mensch sollte erkennen können, wer ein Verbrecher war. Wenn du damals jemandem mit kahlem Kopf begegnetest, konntest du davon ausgehen, dass es sich um einen Verbrecher handelte. Für die Menschen waren bald alle Menschen Verbrecher, die sehr kurze Haare hatten – auch, wenn sie in Wirklichkeit gar keine waren. Es wurde kein Unterschied gemacht. In Bayern kannst du heutzutage manchmal noch den Ausdruck “Gscherter” hören, der sich darauf bezieht. Das Wort „Gscherter“ bedeutet nämlich auf hochdeutsch „Gescherter“ oder „Abrasierter“.

Später in der Geschichte kam noch ein Aspekt dazu: Beim Scheren von Schafen werden normalerweise verschiedene Kämme benutzt, um die dichte Wolle der Schafe von der feinen Wolle zu trennen. Die traditionellen Schafscherer benutzten aber nur einen Kamm für dichte und feine Wolle. Sie machten keinen Unterschied - und scherten alles über einen Kamm.

Mathematische Exkursion: Aussagenlogik

In der Aufgabe wurden viele Aussagen über die Bergtrolle getroffen. Eine davon ist „Alle Bergtrolle sind griesgrämig”. Solche und andere Aussagen sind in der Mathematik besonders wichtig. Nur mit Hilfe von Aussagen können mathematische Sachverhalte nachgewiesen werden. Deshalb gibt es in der Mathematik auch ein Gebiet, dass sich nur mit Aussagen und ihrer Logik beschäftigt, die sogenannte Aussagenlogik.

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, aber nicht beides. Sätze, die nicht wahr oder falsch sind, sind keine Aussagen. Die Frage „In wie vielen Tagen ist Weihnachten?” ist keine Aussage, da Fragen nie wahr oder falsch sein können.

Zwei Beispiele für Aussagen siehst du hier:

„1 + 1 = 2”. Diese Aussage ist wahr.

„Alle Katzen sind grau”. Diese Aussage ist falsch, da es auch Katzen gibt, die nicht grau sind.

Bei Aussage 2) handelt es sich genauso wie bei der Aussage „Alle Bergtrolle sind griesgrämig“ um eine All-Aussage. Bei einer All-Aussage wird eine Aussage über alle Dinge einer bestimmten Gruppe gemacht, zum Beispiel über alle Bergtrolle oder über alle Katzen.

Wenn Aussagen immer entweder wahr oder falsch sind, will man natürlich wissen, was von beidem denn der Fall ist. Wenn du begründen kannst, dass eine Aussage wirklich wahr ist, nennt man das beweisen. Wenn du aber zeigen kannst, dass eine Aussage falsch ist, sagt man auch, dass du die Aussage widerlegst.

Bei All-Aussagen musst du immer begründen, warum die Aussage auch wirklich und für alle Dinge, über die die Aussage etwas sagt, wahr ist. Für die Aussage „Alle Bergtrolle sind griesgrämig” müsste man also überprüfen, ob jeder einzelne Bergtroll auch wirklich griesgrämig ist.

Es kann viel einfacher sein, diese Aussage zu widerlegen. Findest du nämlich nur einen Bergtroll, der nicht griesgrämig ist, ist die Aussage sofort falsch. Dann hast du die Aussage widerlegt. Voraussetzung dafür ist aber, dass es tatsächlich einen Bergtroll gibt, der nicht griesgrämig ist. Sonst wirst du keinen finden, egal wie gründlich du suchst.

Die Aussage „Es gibt (mindestens) einen Bergtroll, der nicht griesgrämig ist” nennt man auch die Verneinung zu unserer All-Aussage über Bergtrolle. Die Verneinung einer Aussage ist immer wahr, wenn die Aussage falsch ist und andersrum ist die Verneinung immer falsch, wenn die Aussage wahr ist.

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