Beispielaufgabe „Fredi denkt im Quadrat 1“ (Kalender 4-6, 2018)

Lösung:

Antwortmöglichkeit a) ist richtig. Fredi muss die Zahl 9 an Stelle des Fragezeichens eintragen.

1. Lösungsmöglichkeit: Ausprobieren

Mit etwas Geduld lässt sich diese Aufgabe ganz einfach durch geschicktes Ausprobieren lösen. Am Anfang ist es immer gut zu schauen, ob du irgendein Symbol schon mit Sicherheit bestimmen kannst.

Die 1. Zeile enthält nur die Wichtelmütze. Da 3-mal die Wichtelmütze 12 ergibt, also 3 ⋅ = 12, hat eine Wichtelmütze den Wert 12 : 3 = 4. Probe: 4 + 4 + 4 = 3 ⋅ 4 = 12 – das stimmt.

Danach bietet sich die 1. Spalte zum Lösen an, da sie nur ein weiteres Symbol enthält. 1-mal die Wichtelmütze und 2-mal das Rentier ergeben 8. Die Wichtelmütze steht für die Zahl 4. Zu dem gewünschten Ergebnis 8 fehlen also noch 8 - 4 = 4. 4 ist also der Wert von zwei Rentieren. Ein Rentier steht also für 4 : 2 = 2.

⇒ = 2

Auf die gleiche Art kannst du auch den Wert der Tanne bestimmen. Dafür kannst du zum Beispiel die 2. Spalte betrachten. Zwei Wichtelmützen und eine Tanne ergeben 13. Eine Wichtelmütze steht für 4, also zwei Wichtelmützen für 2 ⋅ 4 = 8. Zu 13 fehlen dann noch 13 - 8 = 5. Deshalb muss 5 der Wert der Tanne sein.

⇒ = 5

Nun hast du die Lösung schon fast! Gefragt ist nach der Summe

+ + = 2 + 5 + 2 = 9.

Fredi muss also die Zahl 9 in das freie Kästchen eintragen.

2. Lösungsmöglichkeit: Gleichungssystem aufstellen

Du kannst die Aufgabe auch lösen, indem du Gleichungen aufstellst und anschließend das Gleichungssystems auflöst. Dafür musst du als deine Variablen (Unbekannten) bezeichnen. Die Wichtelmütze erhält die Variable w, das Rentier die Variable r und die Tanne die Variable t.

Zu jeder Zeile und Spalte lässt sich mithilfe der Variablen eine Gleichung aufstellen:

1. Zeile:

	w + w + w	= 12	| zusammenfassen
⇒	3 ⋅ w

2. Zeile:

r + w + t

= 11

3. Zeile:

	r + t + r	= ?	| umsortieren
	r + r + t	= ?	| zusammenfassen
⇒	2 ⋅ r + t	= ?

1. Spalte:

	w + r + r	= 8	| zusammenfassen
⇒	t + 2 ⋅ 2	= 8

2. Spalte:

	w + w + t	= 13	| zusammenfassen
⇒	2 ⋅ w + t	= 13

3. Spalte:

w + t + r

= 11

Die 1. Zeile ergibt nach dem Dividieren durch 3, dass w = 4 ist (Wichtelmütze):

	3 ⋅ w	= 12	| :3
⇒	w	= 12 : 3
⇒	w	= 4

Durch Einsetzen von w = 4 in die übrigen Gleichungen ergeben sich so dann die restlichen Variablen, zum Beispiel:

Einsetzen in 1. Spalte:

⇒	w + 2 ⋅ r	= 8	| für w = 4 einsetzen
⇒	4 + 2 ⋅ r	= 8	| -4
⇒	2 ⋅ r	= 8 - 4 = 4	| :2
⇒	r	= 4 : 2
⇒	r	= 2	(Rentier)

Einsetzen in 2. Spalte:

⇒	2 ⋅ w + t	= 13	| für w = 4 einsetzen
⇒	2 ⋅ 4 + t	= 13	| zusammenfassen
⇒	8 + t	= 13	| -8
⇒	t	= 13 - 8
⇒	t	= 5	(Tanne)

Setzt du anschließend die ermittelten Variablen r = 2 und t = 5 in die 3. Zeile ein, so erhältst du den Wert für das Fragezeichen:

?

= 2 ⋅ r + t = 2 ⋅ 2 + 5 = 4 + 5 = 9.

Mathematische Exkursion: Gleichungssysteme.

Der zweite Lösungsweg basiert auf der Verwendung von Gleichungen. Eine Gleichung sind zwei Terme, die mithilfe eines Gleichheitszeichens verbunden werden. Das bedeutet: Beide Seiten sind gleich!

Mindestens einer der beiden Terme enthält dabei eine unbekannte Zahl, eine sogenannte Variable. Das ist eine Zahl, deren Wert du noch nicht kennst, aber herausfinden möchtest. Für diese Zahl verwendet man einen Buchstaben als Platzhalter. Oft wird die Unbekannte x genannt.

Ein Beispiel für eine Gleichung ist dieses:

x + 5

= 10

Um den Wert der Unbekannten x herauszufinden, gibt es zwei Möglichkeiten:

Entweder du schaust dir die Gleichung genau an und überlegst. Wenn sie leicht genug ist, wird schnell klar, dass nur die 5 als Lösung in Frage kommt.

Als zweite Möglichkeit kannst du die Gleichung nach x umformen. Dies gelingt dir, indem du auf beiden Seiten 5 subtrahierst (abziehst). Dann steht dort:

	x + 5 - 5	= 10 - 5	| beide Seiten ausrechnen
	x	= 5

Wenn die Gleichungen komplizierter werden, dann ist meist der zweite Weg der einfachere. Das wichtige dabei ist, dass du auf der linken Seite dasselbe tust wie auf der rechten Seite. Nur so bleiben beide Seiten auch wirklich gleich.

In der Aufgabe der Wichtelfortbildung gilt es aber nicht nur, einen unbekannten Wert herauszufinden, sondern gleich drei! Aufgaben dieser Art - mit mehreren unbekannten Zahlen - lassen sich dann mit einem Gleichungssystem lösen.

Der erste Schritt ist immer, die Gleichungen aufzustellen, wenn diese nicht schon gegeben sind, und untereinander aufzuschreiben. Ein Beispiel für Gleichungen mit drei unbekannten Zahlen wäre Folgendes:

I)	a + 2 ⋅ b + c	= 27
II)	2 ⋅ c	= 4
III)	b + 3 ⋅ c	= 12

Es gibt verschiedene Wege, solch ein Gleichungssystem zu lösen. Eine gute Möglichkeit ist, erst den Wert einer Variable zu bestimmen und diesen dann in die anderen Gleichungen einzusetzen.

Aus Gleichung II weißt du, dass 2 ⋅ c = 4 ist. Wenn du beide Seiten durch 2 dividierst, erhältst du c = 2.

Diesen Wert kannst du nun in Gleichung III einsetzen und diese anschließend nach b umformen:

	b + 3 ⋅ 2	= 12
	b + 6	= 12	| - 6
	b	= 6

Nun kennst du die Werte von c und b und musst nur noch a bestimmen, indem du b und c in die Gleichung I einsetzt:

	a + 12 + 2	= 27
	a + 14	= 27	| -14
	a	= 13

Und schon hast du ein Gleichungssystem gelöst!
Dieses hat die Lösung a = 13, b = 6 und c = 2.