Beispielaufgabe „Cleveres Nähen“ (Kalender 4-6, 2017)

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Wichtel Orlandie liebt es zu basteln. Sie verschenkt deshalb zu Weihnachten am liebstem Sachen, die sie selbst hergestellt hat. Dieses Jahr möchte sie ihren Freundeskreis mit Sweatshirts überraschen, auf die sie geometrische Muster nähen will.

Beim Nähen ist es sehr nervig, wenn man neu ansetzen muss. Deshalb sucht Orlandie nach Mustern, die sie in einem Zug aufnähen kann – so wie zum Beispiel das bekannte „Haus des Nikolaus“. Dabei will sie jede Linie nur einmal aufnähen, denn es sieht nicht gut aus, wenn manche Linien dicker sind als andere.

Orlandie überlegt, bevor sie anfängt zu nähen.

Nach einigem Grübeln legt Orlandie zufrieden den Stift zur Seite. Sie ist der Meinung, dass sie drei schöne Muster gefunden hat, die beide Bedingungen erfüllen: 1. sie muss nicht neu ansetzen und 2. keine Linie muss doppelt genäht werden.

Drei mögliche Nähmuster.

Kann man wirklich alle drei Muster ohne neu ansetzen zu müssen aufnähen, wenn man dabei jede Linie nur einmal näht?

a)
Nein, Muster A kann man nicht ohne neu ansetzen zu müssen aufnähen.
b)
Nein, Muster B kann man nicht ohne neu ansetzen zu müssen aufnähen.
c)
Nein, Muster C kann man nicht ohne neu ansetzen zu müssen aufnähen.
d)
Ja, das geht tatsächlich bei allen drei Mustern.

Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von:

Das "Mathe im Advent"–Team
Mathe im Leben gemeinnützige GmbH
www.facebook.com/matheimadvent


Lösung anzeigen

Lösung:

Antwortmöglichkeit c) ist richtig. Muster C kann man nicht ohne neu ansetzen zu müssen aufnähen.

Am einfachsten kannst du diese Aufgabe zu lösen, indem du versuchst alle drei Muster nachzuzeichnen, ohne dabei absetzen zu müssen und ohne eine Linie doppelt zu zeichnen. Deshalb wird in der Lösung anstatt „Aufnähen“ ab jetzt „Nachzeichnen“ gesagt.

Bei Muster A ist sehr einfach zu sehen, dass dies geht. Du kannst zum Beispiel in irgendeiner beliebigen Ecke anfangen. Dann zeichnest du erst das äußere Achteck nach und dann den inneren Stern oder andersherum. Antwortmöglichkeit a) kann damit also nicht richtig sein, denn Muster A funktioniert.

Für Muster B ist dies schon etwas schwieriger zu sehen. Es gibt allerdings viele verschiedene Möglichkeiten es nachzuzeichnen. Am besten suchst du nach Teilmustern, die es mehrfach gibt und die du nach und nach miteinander verbinden kannst. Krezu und quer wird es dir wahrscheinlich nicht gelingen. Eine Möglichkeit siehst du im Gif auf der „Mathe im Advent“-Webseite in der Lösung dieser Aufgabe. Im Bild kannst du die wichtigsten ersten Schritte nachvollziehen. Von Schritt 2 zu Schritt 3 kommst du auf zwei verschiedenen Wegen. Der rote Punkt ist der Punkt, an dem sich der Stift /die Nähnadel am Ende von Schritt 3 befindet. Schritt 4 ist fast gleich zu Schritt 2. Danach kannst du Schritt 3 wiederholen, dann wieder Schritt 2 und so weiter. So kannst du alle Linien im inneren des Musters ohne abzusetzen oder doppelt zu zeichnen nachziehen und kommst am Ausgangspunkt von Schitt 1 an. Nun musst du nur noch einmal rings um das Achteck herum zeichnen und bist fertig.

Drei mögliche Nähmuster.

Bei Muster C hat sich Orlandie leider geirrt. Sie kann es nicht ohne abzusetzen nähen. Dies kannst du entweder durch Ausprobieren lösen oder du überlegst dir Folgendes: In acht Ecken (immer zwischen den Zacken des Sterns) treffen jeweils drei Linien zusammen. Sie sind im Bild rot umkreist:

Drei mögliche Nähmuster.

Sieh dir eine dieser Ecken genauer an: Mit einer Linie kommst du zur Ecke hin, über eine zweite gehst du wieder weg und weiter zur nächsten Ecke. Aber was ist mit der dritten Linie? Du musst irgendwann zu dieser Ecke zurück. Sobald du diese Linie aber in Richtung der Ecke nachzeichnest, kommst du nicht weiter, weil du die anderen zwei Linien bereits nachgezeichnet hast.

Würde es im Muster genau zwei Ecken mit drei Linien geben, wäre dies kein Problem: Du könntest in der einen Ecke anfangen und in der anderen enden. Da es aber acht Ecken mit jeweils drei Linien gibt, ist es unmöglich, dieses Muster nachzuzeichnen, ohne dabei absetzen zu müssen und ohne eine Linie mehr als einmal zu zeichnen. Antwortmöglichkeit c) ist also richtig.

Mathematische Exkursion: Eulerweg

So einen Weg, mit dem du alle Linien einer Figur genau einmal nachzeichnen kannst, wird in der Mathematik Eulerweg genannt. Wenn du dabei am Ende wieder zu deinem Startpunkt zurückkommst, heißt dieser Weg Eulerkreis. Orlandie hat also nach einem Eulerweg gesucht (allerdings hat sie sogar Eulerkreise gefunden).

Die Namen Eulerweg und Eulerkreis gehen auf den Mathematiker Leonard Euler zurück. 1736 hat sich Euler mit folgendem Problem beschäftigt: Seine Stadt Königsberg wird durch einen Fluss und zwei Inseln geteilt. Insgesamt gibt es 7 Brücken. Gibt es einen Weg in Königsberg bei dem jede Brücke genau einmal überquert werden muss? Euler hat damals also nach einem Eulerweg gesucht. Er konnte beweisen, dass es diesen nicht gab. Ihm zu Ehren wird der Weg heute Eulerweg genannt.

Mehr zu dem sogenannten „Königsberger Brückenproblem“ kannst du hier nachlesen: http://www.zahlendoktor.de/Euler.html

Die Figuren, an denen Mathematiker_innen nach solchen Eulerwegen oder Eulerkreisen suchen, werden Graphen genannt, die Linien heißen dabei Kanten und die Ecken heißen Knoten. Das Thema gehört in das mathematische Gebiet der Graphentheorie. Graphen hast du bereits in der Aufgabe 8 kennengelernt. Dort ging es aber um ein ganz anderes Problem.

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