Beispielaufgabe "Das große Fußballturnier" (Kalender 7-9, 2022)
Aufgabe als PDF herunterladenIphis plant als Oberwichtel in der Wichtelverwaltung alle Kultur- und Sportveranstaltungen. Gleichzeitig ist sie Kapitänin des Fußball-Teams Rotation Nordpol 1881. Deshalb freut sie sich total auf das Fußballturnier am nächsten Sonntag. Dieses wird mit insgesamt sechs Teams auf einem Sportplatz mit 3 Spielfeldern stattfinden. So können immer alle Teams in 3 gleichzeitig stattfindenden Spielen gegeneinander spielen.
Heute haben sich alle Teams auf dem Sportplatz getroffen, um das Turnier zu planen. Nach zwei Stunden scheinen alle wichtigen Details geklärt. Da meldet sich Ragna zu Wort: „Guck mal: Auf diesem Spielfeld liegen noch Eisbrocken rum... In dieser Richtung leuchtet der Vollmond total hell aufs Feld, sodass wir in dieser Hälfte total geblendet werden... Und vor dem Tor dahinten wachsen rutschige Flechten und Moose... Das ist voll unfair!”
Die anderen Wichtel stimmen Ragna zu. Sie wollen einen fairen Spielplan finden, bei dem jedes Team genau einmal gegen jedes andere Team spielt und kein Team zweimal auf der gleichen Spielfeldhälfte. Ragna, Iphis und Ottilie überlegen eine Weile alleine. Dann stellt jede ihren Spielplan vor.
Ragna erklärt als erste ihren Plan: „Das erste Spiel wird zufällig ausgelost, danach rotieren alle im Uhrzeigersinn weiter. Ich hab das mal aufgezeichnet. Wenn ein Team auf einer der Spielfeldhälften gespielt hat, zeigt der Pfeil an, auf welche Spielfeldhälfte das Team als nächstes wechselt.”
Iphis erwidert: „Aber spielen bei deinem Spielplan wirklich alle Teams gegen alle anderen Teams genau einmal? Wie wäre es, wenn die Teams in ,Zickzack'-Bewegungen rotieren – so wie in meinem Plan?“
Ottilie zeigt ihren Spielplan: „Ich hab noch eine ganz andere Idee – das ist ein bisschen kreuz und quer. Seht mal hier.“
Bei welchem Spielplan spielt jedes Team genau einmal gegen jedes andere Team und kein Team zweimal auf der gleichen Spielfeldhälfte?
- a)
- Beim Spielplan von Ragna (1. Bild)
- b)
- Beim Spielplan von Iphis (2. Bild)
- c)
- Beim Spielplan von Ottilie (3. Bild)
- d)
- Das funktioniert bei keinem der drei Spielpläne.
Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von:
Clara Kyba (Schülerin der 10. Klasse)
Hildegardisschule Bochum, Nordrhein-Westfalen
Lösung:
Antwortmöglichkeit d) ist richtig, keiner der Spielpläne funktioniert.
Um herauszubekommen, welche Antwortmöglichkeit die richtige ist, musst du die Spielpläne von Ragna, Iphis und Ottilie für die einzelnen Spielrunden überlegen. Die erste Spielrunde ist schon in den drei Spielplänen in der Aufgabe aufgezeichnet. Fange also immer mit der zweiten Spielrunde an.
Sobald du feststellen kannst, dass ein Team gegen ein Team spielt, gegen das es in den Runden vorher schon gespielt hat, oder auf einem Spielfeld, auf dem es schon gespielt hat, kannst du aufhören und den nächsten Spielplan überprüfen.
Überprüfung von Antwortmöglichkeit a): Spielplan von Ragna>
Bei Ragnas Spielplan spielen in der zweiten Spielrunde diese Teams gegeneinander (jedes Team rotiert im Uhrzeigersinn):
Hier siehst du die dritte Spielrunde:
Und so sieht die vierte Spielrunde aus:
Nun fällt auf, dass in der vierten Spielrunde dieselben Teams gegeneinander spielen, wie in der 1. Runde, beispielsweise Victoria Wichteldorf gegen Rotation Nordpol. Sie haben gegenüber der 1. Runde nur die Seiten und die Spielfelder getauscht. Damit ist die Bedingung, dass jedes Team nur einmal gegen ein anderes Team spielt, nicht erfüllt. Antwortmöglichkeit a) ist damit falsch.
Überprüfung von Antwortmöglichkeit b): Spielplan von Iphis>
Die zweite Spielrunde von Iphis’ Spielplan sieht so aus:
Wenn du die dritte Spielrunde aufzeichnest, fällt etwas auf:
Auch hier spielen alle Teams wieder gegeneinander, die schon in der ersten Runde gegeneinander gespielt haben, zum Beispiel Rot-Weiß Arktis 1777 gegen den FC Kompass. Sie haben gegenüber der 1. Runde die Seiten und die Spielfelder getauscht. Damit funktioniert der Spielplan von Iphis auch nicht. Antwortmöglichkeit b) ist falsch.
Überprüfung von Antwortmöglichkeit c): Spielplan von Ottilie>
Beim Spielplan von Ottilie sieht die zweite Spielrunde so aus:
In der zweiten Spielrunde spielen der FC Kompass und Rot-Weiß Arktis 1777 gegeneinander. Sie haben aber schon in der 1. Runde gegeneinander gespielt. Das liegt daran, dass immer beide Teams vom 3. Feld auf das 2. Feld gestellt werden (mit vertauschten Spielhälften). Also funktioniert auch dieser Spielplan nicht.
Du weißt nun, dass kein Spielplan funktioniert, also ist die Antwortmöglichkeit d) richtig.
