Aufgabe vom 2. Dezember 2020

Hinweis: Die Abgabe oder Änderung der Lösung ist nicht mehr möglich. Die Abgabe war bis Donnerstag, den 3. Dezember 23:00 Uhr möglich.

The Voice of Nordpol

Jedes Jahr am 25. Dezember, nachdem alle Geschenke ausgeliefert wurden, gibt es ein großes Weihnachtsfest im Ballsaal des Wichteldorfs. Auf dem Fest darf gute Musik nicht fehlen. Welche Band auftreten darf, wurde bisher von einer Jury ausgewählt. Doch in diesem Jahr soll die Band erstmals über die Smartphone-App Elfstergram ermittelt werden.

Die Band Fredi and his little Helpers sitzt heute bei einer Probe zusammen und berät, wie sie die Abstimmung gewinnen können. Bass-Spieler Hardiknut ist schon etwas älter. Er fragt: „Ich verstehe diese neumodische Technik nicht. Wie soll das jetzt mit diesem Elfstergram funktionieren?”

Amalie erklärt: „Auf Elfstergram können sich alle Wichtel Accounts anlegen und darauf Fotos und Videos veröffentlichen. Sie können sich als Freunde vernetzen, sich gegenseitig Nachrichten schreiben und ihre Fotos und Videos liken. Auch jede Band hat einen Account, mit dem sich die Fans vernetzen können."

Isidor ergänzt: „Auf unserem Account haben wir heute ein Video von unserem Lied veröffentlicht. Alle Wichtel können das Video liken, wenn es ihnen gefällt. Auch die drei anderen Bands haben ein Video veröffentlicht. Welche Band bis zum Abend des 16. Dezember die meisten Likes gesammelt hat, darf beim Weihnachtsfest auftreten. Wir haben tausende Fans, von denen werden uns sicher viele einen Like geben.”

Das Bild stellt einen Flyer für das Weihnachtsfest dar. Darauf abgebildet sind Fotos der vier Band Fredi & his Little Helpers, Dancing Snowflakes, Monarch und CC Flop.

Fredi sagt: „Ich habe gehört, dass die Dancing Snowflakes nicht nur ihr Video hochladen, sondern ihre Fans auch direkt anschreiben und um einen Like bitten. Das müssen wir auch machen, sonst haben wir keine Chance!” Doch es ist mühsam, zigtausende Fans direkt anzuschreiben. Deshalb überlegen die Band­mitglieder, wie sie mit wenig Aufwand möglichst viele Likes sammeln können.

  • Eglantyne schlägt vor: „Lasst uns einfach einmal 1 000 Fans anschreiben und um einen Like bitten. Das sollte reichen.”
  • Fredi erwidert: „Puh, 1 000 Nachrichten auf einmal sind echt viel. Ich würde vorschlagen, dass wir heute 500 Fans anschreiben. An jedem folgenden Tag schreiben wir dann nochmal 20 weitere Fans an.”
  • Isidor wirft ein: „Das sind doch viel zu wenige! Am besten schreiben wir einfach ab heute jeden Tag 100 Fans an und bitten sie um einen Like.”
  • Amalie schlägt vor: „Wir können noch weniger Aufwand haben: Wir schreiben heute einfach 2 Fans an. Wir bitten sie in der Nachricht um einen Like und darum, die Nachricht morgen jeweils zwei weiteren Freunden zu schicken. Diese vier Freunde sollen die Nachricht dann wieder am folgenden Tag an jeweils zwei Freunde weiterschicken. Und immer so weiter – jeder angeschriebene Wichtel soll das Video liken und am folgenden Tag die Nachricht an zwei Freunde weiterschicken.”

Hardiknut wirft die Hände über den Kopf: „Ach du meine Güte, mit welcher Strategie gewinnen wir denn nun?”

Mit welcher dieser Strategien können sie in 15 Tagen (vom 2. bis 16. Dezember) die meisten Likes sammeln?

[Hinweis: Gehe davon aus, dass alle angeschriebenen Wichtel tatsächlich einen Like abgeben und, wenn sie darum gebeten werden, die Nachricht auch weiterschicken. Nimm an, dass dabei kein Wichtel mehrmals angeschrieben wird.]


Hinweis: Die Abgabe oder Änderung der Lösung ist nicht mehr möglich. Die Abgabe war bis Donnerstag, den 3. Dezember 23:00 Uhr möglich.

Lösung zur Aufgabe 2

Antwortmöglichkeit a) ist richtig: Mit der Strategie von Amalie können die meisten Likes erzielt werden

1. Lösungsweg: Mit Tabellen

Um herauszufinden, mit welcher Strategie die meisten Likes erzielt werden können, kannst du dir für die verschiedenen Strategien Tabellen anlegen. Aus Platzgründen findest du hier eine Tabelle mit drei Zeilen. Du kannst aber auch genauso eine Tabelle mit drei Spalten anlegen. In die 1. Zeile trägst du ein, der wievielte Tag es ist, in die 2. Zeile die Anzahl der neuen Likes an diesem Tag und in der 3. Zeile die Summe der Likes bis zu diesem Tag.

Nach der Strategie von Eglantyne (1. Tag 1 000 Likes und anschleißend keine mehr) erhältst du folgende Tabelle:

02_7-9_VoiceNordpol_Lsg1.png

Nach der Strategie von Fredi (1. Tag 500 Likes und in den nächsen 14 Tagen jeweils 20 Likes) erhältst du folgende Tabelle:

02_7-9_VoiceNordpol_Lsg2.png

Nach der Strategie von Isidor (1. Tag bis 15. Tag jeweils 100 Likes) erhältst du folgende Tabelle:

02_7-9_VoiceNordpol_Lsg3.png

Nach der Strategie von Amalie verdoppelt sich an jedem Tag die Anzahl der kontaktierten Wichtel und damit die neuen Likes (1. Tag: 2 Likes, 2. Tag: 4 Likes, 3. Tag: 8 Likes, 4. Tag: 16 Likes ...). Du erhältst folgende Tabelle:

02_7-9_VoiceNordpol_Lsg4.png

Wenn du die Werte aus den Tabellen in ein Koordinatensystem einträgst, entstehen Graphen. Du kannst dir online oder auf deinem Rechner deren Verlauf anschauen, zum Beispiel auf: https://www.geogebra.org/graphing?lang=de. Trage die Anzahl der Tage auf der x-Achse ein und die Anzahl der Stimmen auf der y-Achse. Vergleichst du nun die Anzahl der Likes am 15. Tag, ist deutlich zu erkennen, dass mit Amalies Strategie die meisten Likes gesammelt werden können. Mehr zu den entstehenden Graphen kannst du unten in der Mathematischen Exkursion erfahren.

2. Lösungsweg: Mit Baumdiagramm

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du berechnest, wie viele Likes mit den verschiedenen Strategien bis zum Weihnachtsfest gesammelt werden. Behalte dabei im Hinterkopf, dass die Abstimmung 15 Tage lang läuft.

Eglantyne möchte einmalig 1 000 Fans anschreiben. Bis zur großen Weihnachtsfeier sammelt die Band mit dieser Strategie 1 000 ∙ 1 = 1 000 Likes.

Fredis Idee ist es, am ersten Tag 500 Fans anzuschreiben und an den weiteren 14 Tagen jeweils 20 Fans um einen Like zu bitten. Es sind noch 15 Tage bis zum Weihnachtsfest: 500 + 14 · 20 = 780. Damit erreichen sie 780 Fans und erhalten nur 780 Likes. Antwortmöglichkeit c) ist damit schon falsch.

Isidor möchte 15 Tage lang jeweils 100 Fans anschreiben. Mit seiner Strategie werden 100 · 15 = 1 500 Fans um einen Like gebeten. Damit ist auch Antwortmöglichkeit b) falsch.

Amalie möchte am 1. Tag nur zwei Fans anschreiben und um einen Like bitten. Somit hätte das Video der Band Fredi and his little Helpers auf Elfstergram am ersten Tag auch nur zwei Likes (Stufe 1).

MatheimAdvent_The_Voice_of_Nordpol_Stufe1.png

Diese beiden angeschriebenen Fans werden gebeten, die Nachricht am nächsten Tag jeweils zwei weiteren Freunden zu schicken. Dabei wird kein Wichtel zweimal angeschrieben. Am 2. Tag werden somit von den beiden Fans insgesamt vier neue Freunde kontaktiert. Diese vier Wichtel bilden die 2. Stufe.

MatheimAdvent_The_Voice_of_Nordpol_Stufe2.png

Das Video der Band hätte dann am 1. und 2. Tag zusammen 2 + 2 · 2 = 6 Likes erhalten. Das kannst du auch so ausdrücken: 2 + 2² = 6.

Diese Rechenoperation „hoch 2“ wird auch Potenzieren genannt. Eine Potenz besteht aus einer Basis (hier: 2²) und einem Exponenten (hier: 2²), der oben rechts an die Basis geschrieben wird. Sie beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Mit dem Exponenten 2 erhältst du die Quadratzahlen.

Am 3. Tag werden auch diese vier Wichtel gebeten, die Nachricht wieder an jeweils zwei Wichtel weiterzuschicken, also kämen 2 · 2 · 2 = 23 = 8 Likes hinzu. Damit ist Stufe 3 erreicht.

MatheimAdvent_The_Voice_of_Nordpol_Stufe3.png

Insgesamt gefällt das Video dann 2 + 2² + 23 = 2 + 4 + 8 = 14 Fans.

Du kannst in den Stufen ein Muster erkennen: Die Summanden unterscheiden sich nur durch den Exponenten, der sich jeweils um eins erhöht. Die Basis der Summanden liegt konstant bei 2. Nach diesem Muster müssen in der vierten Stufe 24 = 16 Wichtel angeschrieben werden. Das kannst du mit dem Stufensystem überprüfen:

MatheimAdvent_The_Voice_of_Nordpol_Stufe4.png

Um auszurechnen, wie viele Wichtel mit Amalies Strategie in 15 Tagen angeschrieben werden, rechnest du 2 + 2² + 23 + 24 + 25 + 26 + ... + 214 + 215 = 65 534.

Die Band sammelt mit Amalies Strategie in 15 Tagen insgesamt 65 534 Likes. Im Vergleich werden mit Amalies Strategie also die meisten Likes gesammelt.

Wichtel Albert mit einem Teller

Mathematische Exkursion: Wachstumsfunktionen

Mathematisch gesehen liegen den Strategien der Bandmitglieder verschiedene Typen von Funktionen mit unterschiedlichen Wachstumsformen zugrunde.

Trägst du die Anzahl der Stimmen in Abhängigkeit von den Tagen in ein Koordinatensystem ein, entstehen folgende Graphen:

02_7-9_VoiceNordpol_Lsg5.png

Bei näherer Betrachtung fällt auf, dass sich Eglantynes, Fredis und Isidors Graphen ähneln: Es sind alles „geraden Linien“ bzw. lineare Funktionen oder kurz gesagt Geraden. Der Wachstumsvorgang wird als lineares Wachstum bezeichnet, weil die Änderungsrate konstant ist. Das bedeutet, dass in gleichen Abständen immer die gleiche Menge dazu kommt. 

Die Änderungsrate bei Eglantynes Funktion liegt bei 0, da nur am ersten Tag Likes gesammelt werden. Die Anzahl der Likes bleibt somit bis zum großen Weihnachtsfest konstant bzw. gleichbleibend. Diese Funktion heißt konstante Funktion.

Fredi möchte jeden Tag 20 Likes zusätzlich sammeln, wodurch seine Änderungsrate bei 20 liegt.

Entsprechend dazu liegt Isidors Änderungsrate bei 100 (zusätzlichen Likes pro Tag).

Amalies Strategie hingegen liegt ein exponentieller Wachstumsprozess zugrunde. Das bedeutet, dass die Zunahme immer proportional zum Bestand ist. Das heißt: Zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil hinzu. Die Änderungsrate ihrer Funktion ist deshalb nicht konstant. Sie wird mit der Zeit, genau wie die gesamte Anzahl an Likes, immer größer: So kommen beispielsweise am 2. Tag vier Likes hinzu, am 3. Tag acht und so weiter.

Das Wachstum einer Exponentialfunktion ist anfangs kaum merklich – es bleibt eine Zeit lang deutlich hinter einem linearen Wachstum zurück, schießt dann aber regelrecht in die Höhe.

Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von:

Dr. Gloria Becker,
Neues Gymnasium, Bochum (Nordrhein-Westfalen)

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